Invariance d’échelle brisée et accroissements stationnaires

We study various ways for stochastic processes to depart from exact self-similarity with stationary increments (Hss-si). An interpretation of Hss-si as invariance under affine time-scale deplacement operators is used and introducing modified dilations or increments allows to discuss processes with broken self-similarity, including finite size scale invariance and local self-similarity. 1 Invariance d’échelle et accroissements stationnaires Définitions introductives. L’invariance d’un signal, ou d’un système, à travers les échelles est une hypothèse largement utilisée en physique comme dans d’autres domaines : physique statistique, turbulence, télécommunications, géophysique, etc. Rappelons la définition pour les processus aléatoires [16]. Définition 1 Un processus aléatoire {X(t), t ∈ R} est dit autosimilaire d’indice H (ou H-ss) si et seulement si (D λ X)(t)=̂λ−HX(λt) d = X(t). (1) D λ note la dilatation de rapport d’échelle λ et d = désigne l’égalité en distribution. L’exemple de base est le classique mouvement brownien fractionnaire BH(t) d’exposant d’autosimilarité H [11]. La modélisation des phénomènes auto-similaires est en général conciliée avec une forme de stationnarité des signaux en supposant que le signal étudié a des accroissements stationnaires, noté a.s. [20]. Définition 2 Un processus aléatoire {X(t), t ∈ R} est à accroissements stationnaires, noté a.s., si pour tout τ ∈ R, l’incrément {Z(τ, t) = X(t+ τ)−X(t), t} est stationnaire : (TbZ)(τ, t)=̂Z(τ, t+ b) d = Z(τ, t). (2) Tb désigne ici l’opérateur de translation en temps de b. Les mouvements browniens fractionnaires BH(t), paradigmes des processus invariants en échelle, possèdent ces deux propriétés. Brisure des symétries. Nous étudions dans la suite des processus qui dévient de l’une ou l’autre de ces deux propriété. Pour de nombreuses applications concrètes, il faut en effet assouplir l’invariance en échelle pour n’en garder qu’une symétrie brisée, par exemple en échelle [8] : évolution non stationnaire en échelle en traffic internet [15], bornes sur les échelles en turbulence [7], invariance d’échelle discrète pour des systèmes statistiques complexes [18, 4, 5], etc. La partie 2 propose des variations où l’invariance en échelle est brisée tandis que les accroissements sont conservés stationnaires. L’objet de la partie 3, avant notre conclusion, est de considérer l’invariance d’échelle définie seulement localement en temps, et d’en donner une approche avec un générateur localement stationnaire. Avant cela, il est bon de rappeler comment les deux symétries que nous considérons reviennent à supposer l’invariance pour une représentation à deux paramètres du processus. C’est dans ce cadre que nous introduirons ensuite les brisures de symétries spécifiques considérées. Accroissements et déplacements temps-échelle affines. Il est habituel de réunir les deux propriétés d’un processus H-ss à a.s. en une seule équation que l’on écrit en général X(t+ λτ)−X(t) d = λ(X(τ)−X(0)). (3) Cette combinaison des deux propriété des définitions 1 et 2 est réécrite ensuite pour apparaı̂tre comme une invariance sous un seul groupe de symétrie. Propriété 1 Un processus X(t) est H-ss à a.s. si et seulement si ses processus accroissements {Z(τ, t), t ∈ R} sont invariants en distribution sous le groupe des déplacements tempséchelle affines défini comme {D (λ,b)=̂D H λ Tb, (λ, b) ∈ R∗ × R}. On rappelle la loi de composition affine sur R∗ × R : (λ, b) · (α, t) = (λα, λt + b). L’ensemble des déplacements tempséchelle D (λ,b) est une représentation du groupe affine (groupe de la droite ax + b) puisque D (λ′,b′)D H (λ,b) = D H (λ,b)·(λ′,b′). Ce sont des opérateurs de déplacement au sens de [9] : tout point du plan temps-échelle (α′, t′) peut être atteint de n’importe quel autre point (α, t) en choisissant le déplacement de paramètres (α/α′, t′ − αt/α′). Une démonstration peu rigoureuse de la proposition tient par le calcul suivant. (D (λ,b)Z)(τ, t) = λ −H(X(λt+ λτ + b)−X(λt+ b)) d = X(t+ τ + b/λ)−X(t+ b/λ) d = X(t+ τ)−X(t) = Z(τ, t). La deuxième égalité exprime l’auto-similarité de X et la suivante la stationnarité de ses accroissements. Cette propriété découle en fait directement des définitions. Dans cette lecture de l’autosimilarité avec a.s. la taille d’incrément τ prend le sens d’une échelle. Représentation à deux paramètres de H-ss et a.s. L’approche plus générale que nous adopterons est alors de définir ces symétries non pas sur le processus mais sur une représentation quelconque de type temps-échelle. Puisque les D (λ,b) sont des opérateurs de déplacement du plan, il existe des représentations TX [a, t] covariantes pour ces déplacements temps-échelle [9]. TDH (λ,b)X [α, t] = (D (λ,b)TX)(α, t) = f(λ )TX [(λ, b)·(α, t)], où f décrit la renormalisation. Nous venons de rappeler que les accroissements Z(τ, t) entrent dans cette catégorie. Dans cette écriture, l’action du déplacement sur X(t) est formellement (D (λ,b)X)(t) = X(b + λt) mais, pour un processus aléatoire, cette forme est à utiliser avec précautions. Plus généralement on sait que, si elles sont linéaires, elles doivent être de type transformée en ondelettes TX [α, t] = ∫ X(u) 1